授業科目(課程)

専門基礎科目

科目名 概要
線形代数I 平面および空間のベクトルからはじめ、n次元数ベクトル空間、行列、1次写像の概念を講義する。さらに行列の応用として、行列の基本変形を用いた連立1次方程式の解法や逆行列の求め方を与えるとともに、行列式を定義して、その基本的性質や計算法について講義する。
線形代数II ベクトル空間における、ベクトルの1次独立性、基底、次元、1次写像とその表現行列、計量ベクトル空間の正規直交基底とシュミットの直交化法について講義する。さらに、行列の固有値・固有ベクトル・対角化の概念と対角化可能判定法および対角化の手順について講義する。
線形代数演習 線形代数IIで学んだ内容について演習を行う。
解析学基礎I 実数の基本性質について考察し、初等関数についての極限や導関数の計算法と種々の平均値の定理やテーラーの定理を学び、不定形の極限や関数の整級数展開などへ応用する。定積分の定義と微積分の基本定理を学んで、基本的な初等関数の積分の計算法を紹介した後、広義積分や曲線の長さや図形の面積などの求積へ応用する。
解析学基礎II 多変数関数に関して、2変数関数を中心に、連続性、偏微分可能性、全微分可能性、連鎖定理、テーラー展開などについて講義し、それらの応用として極値問題を解説する。後半では、重積分の定義と性質、変数変換とヤコビアン、積分の応用について講義する。
解析学基礎演習 解析学基礎Iで学んだ内容について演習を行う。
統計学基礎 種々の推定法、仮説検定法、分散分析法について学習する。データの形態、知りたいことによって、これらの方法を使い分けることが大切であり、種々の方法を確実に把握し、実際のデータに適用できる能力を取得することを目標とする。
物理学I 質点の力学を通して、力学の基本物理量である力、速度、加速度、運動量、角運動量、エネルギーの理解に重点をおく。エネルギー・運動量および角運動量の保存則を導き、身の回りの自然現象との関係について説明する。また、微分・積分学など物理学に必要な数学的取り扱いの初歩に習熟することを目指す。
物理学II クーロンの法則を基に電場・電位を定義し、電場を記述するガウスの法則を導く。そして、導体・誘電体の電気的性質を説明する。続いて、電流が作る磁場をビオ・サバールの法則、アンペールの法則として定式化する。そして磁性体が作る磁場を説明する。更に、時間的に変動する電場・磁場の法則をマクスウェル方程式として定式化し、その物理学的描像を明らかにする。
物理学実験 力学、光学、電磁気学の分野から、各回一つのテーマで実験を行ってもらう。また、誤差論、実験データ処理方法、レポートの書き方などについて講義する回を設けるとともに、必要に応じて、実験テーマの背景となる理論についても解説を行う。
化学I 有機分子の構造、分子軌道と混成軌道、共鳴理論、性質と分類、命名法、有機化学における酸と塩基について学ぶ。次いで有機反応はなぜ進行するのかを理解し、有機反応の各種活性種、有機反応と有機合成について学ぶ。
化学II 現代化学の物質観を理解するための基礎として、量子論に基づいた化学結合の理論について重点的に講義する。多様な物質の性質を原子・分子のレベルから説明することにより原理的なことから体系的に理解することに重点を置く。
化学実験 「安全教育」を必須として、実験テーマ:定性分析(1テーマ)、容量分析(3テーマ)、物理化学実験(5テーマ)、有機化学実験(3テーマ)の中から10テーマの実験を行います。実験ごとにレポートを提出させると共に、実験発表会(プレゼンテーション)を実施して化学に対する理解が深まるように指導します。
生物学I 生命の起源、生体物質の構造と機能、遺伝子、生体エネルギーの産生と利用、さらにはこれらを基礎としたバイオテクノロジーの概要など、細胞・分子レベルでの内容。
生物学II 生物のもつ多様な構造と生理機能、進化の概念とその仕組み、遺伝子発現と環境、行動など、マクロ生物学の内容。
生物学実験 光学顕微鏡の操作技術習得に基づく細胞・組織レベルでの構造観察、解剖学実験に基づく組織・器官レベルでの形態・機能の解析、飼育・交配技術の習得に基づく遺伝現象の実験的解明、無菌操作技術の習得に基づく微生物学実験、生体構成成分の分析法など。
地球システム科学 前半は、ビッグバン、太陽系の誕生、地球の成立について解説する。後半は、中央海嶺とトランスフォーム断層、海山とホットスポット、海溝と沈み込み帯のテーマについて解説し、地球環境および地球システムについて考察する。
地学実験 前半は、地質調査法、地質図学、地形判読について教授、実験を行う。後半は、岩石の肉眼鑑定、偏光顕微鏡に関する実験を行う。
プログラミング入門 コンピュータを用いた問題解決のためのアルゴリズムやデータ構造の基礎とプログラミング言語の文法を習得させる。また、プログラムの編集、ライブラリの利用、コンパイル、実行、デバッグといった一連のプログラム作成過程を、課題による演習を通して習得させる。プログラミング言語は、各学類の専門性に応じたものを使用する。

 

専門科目

科目名 概要
生命環境科学概論 生命環境科学域・自然科学類(数理科学課程・物理科学課程・分子科学課程・生物科学課程)の教員が講義を分担します。2年次以降に様々な専門科目を履修することを通して本格的に学んでいく「自然科学」の最近の研究成果に触れるとともに、「自然科学が人間社会(地域・世界)とどのように関わりあい、どのように活かされているか」という観点から考えるきっかけを提供します。
科学英語 数理科学の研究においては、英語で書かれた学術文献を読んで、既存の研究の内容を調査・理解する能力が不可欠であり、また、多くの場合に、その理解した内容を明快に説明する能力が求められる。本科目では、数理科学の基本的な英語テキストの読解を通じて、英語テキスト・論文の読み方を学習する。英文和訳および要約の演習により理解を深め、また、英作文の演習により定型表現の習得を図る。
代数学I 環とは、加減乗の3演算を有する集合である。身近な整数環と多項式環を素材に、可換環の基礎理論を学ぶ。テーマは「素因数分解」。整数や多項式が扱いやすいのは、因数分解できるからである。一般の環で、素因数分解のような概念を導入することができるのだろうか。この答えを知ることを目標に「イデアル=倍数の一般化」論を講義する。
代数学演習I 代数学Iで学んだ内容について演習を行う。
代数学II 代数学Iで学んだ環には足し算と掛け算が有りましたが、群とはそこから足し算を除いたもの、つまり、掛け算のみを有する集合を考えます。演算が掛け算ただ一つしか無くても結合法則と単位元の存在という条件だけから様々な性質が従うことを講義の初期段階に紹介します。次に有限個の要素から構成される群(有限群)では要素の個数と群の性質が関係することを確かめます。講義では基礎事項を解説したのち発展的な内容を解説します。発展的な内容としては有限生成アーベル群の構造定理、シローの定理、指標理論等の内の幾つかを計画しています。
代数学演習II 代数学IIで学んだ内容について演習を行う。
代数学III 多項式の根を求めることは、古来、人々を魅了した。この問題は、体の拡大について調べることと同値である。たとえば私たちは、多項式X^2+1の根を加えることで複素数体が得られることを知っているだろう。このような考え方の利点は、群による記述ができることである。すなわち、体の代数拡大(=多項式の根を求めること)はガロア群と呼ばれる群に対応しており、良い代数拡大は良いガロア群に対応する。代数拡大とガロア群との対応(ガロアの基本定理)を理解し、簡単な代数拡大についてガロア群が計算できるようになることが目標。
情報理論 シャノンによって創始された情報・通信に関する数学的理論の基礎を学ぶ。具体的には、情報量、エントロピー、情報源符号化、通信路符号化、最尤復号、単一誤り訂正符号の符号化・復号方法などを扱う。
符号理論 有限体上の様々な線形符号の構成方法や復号法、パラメータに関する限界などについて学習する。具体的には、q 元ハミング符号、MDS 符号、射影幾何を応用した最適な符号の構成方法や、複数の誤りを訂正できる実用的な符号のクラスとして有名なBCH符号の構成方法と復号法などを扱う。
暗号理論 古典的な暗号の話からはじめ、現在使用されている具体的な暗号方式を例に、現代暗号の基礎的な考え方、共通鍵暗号・公開鍵暗号・電子署名の仕組みや使われ方、アルゴリズム、安全性の根拠についての基礎的な事項を講義するとともに、暗号で用いられる基本的なアルゴリズムの理解を深めるために、Mathematicaを用いたプログラミング演習を行う。
幾何学I 数列の収束や関数の極限を考えられるのは、実数全体の集合を数直線とみたときに2点間の距離が定まっているおかげであることに着目すれば、座標平面や座標空間を含む、より一般的な集合でも、「距離」さえ与えられれば点列の収束や写像(関数)の極限値が定義できることを理解することがこの授業の最初の目標です。その上で、距離という概念の背後にある「位相構造」と呼ばれる数学的構造へと抽象化する過程と、その必然性を理解することが次の目標です。さらに、その抽象化によって微積分学における基礎的な定理である「最大値・最小値の定理」や「中間値の定理」が、それぞれ「コンパクト性」や「連結性」と呼ばれる位相構造についての性質をもつ、実数全体の集合を含むより一般的な空間に対して証明できることを解説します。
幾何学演習I 幾何学Ⅰで学ぶ距離関数、距離空間、位相空間、連続写像などの諸概念についての理解を深めるための演習を行うと同時に、幾何学Iの授業で触れられなかったトピックなどについての補足を必要に応じて行います。
幾何学II 多変数の微積分学について補足と、距離が与えられた集合(距離空間)に関し「完備性」と呼ばれる概念を解説した後、その応用として「陰関数定理」、「逆写像定理」、「常微分方程式の解の存在定理」という解析学の重要な定理を示したり、指数関数を一般化した「指数写像」という行列を変数として行列を値にもつ写像を定義します。この指数写像を用いることによって行列の集合から得られる「線形群」という空間の性質について調べ、「0でない複素数は正の実数と絶対値が1の複素数の積である。」という複素数についての単純な事実を、正方行列についての主張に一般化します。
幾何学演習II 幾何学Ⅱで学ぶコーシー列、完備性、指数写像、対数写像、極分解などの諸概念についての理解を深めるための演習や、陰関数定理や逆関数定理を用いて問題を解く演習を行います。また、幾何学Ⅱの授業で触れられなかったトピックなどについての補足を必要に応じて行います。
幾何学III この授業では「微分可能多様体」と呼ばれる、円周や球面、ドーナツ面など「滑らかさ」をもつ図形を数学的に定式化した概念について学びます。微分可能多様体の各点には接線や接平面を一般化する「接空間」というベクトル空間が貼り付いていますが、それらを束ねて「接束」と呼ばれる空間を構成します。この接束の概念を用いて、これまでに学んだ多変数の微積分学やベクトル解析を多様体上の解析学として、より一般的な立場から理解することを目標とします。
幾何学IV 「位相幾何学」という幾何学の分野では、球面やドーナツ面などの2次元の図形を含む、より高次元の図形(空間)を研究します。そのために、アーベル群と呼ばれる、足し算が定義された集合を各空間に対応させる「ホモロジー論」と呼ばれる理論について学びます。高次元の球面などの具体的な空間の「ホモロジー群」求めたり、その結果を用いて「偶数次元球面上の連続な接ベクトル場には必ず零ベクトルを値に取る点が存在する」や「有限の体積をもつ三次元空間内の3つの領域を同時に二等分する平面が存在する(ハムサンドイッチの定理)」などの結果を導きます。
数理論理学 数学記述言語としての命題論理と1階述語論理の概論を講義する。それによって、学生が次の知識を修得することを目標とする。(1)数学の命題や論証が形式的に記述できることを理解し、それによって、数学の命題や論証そのものを外側から俯瞰する視点を得る。(2)論理の構文論的側面と意味論的側面を理解する。(3)論理の意味論的側面について、代数系など、数学の具体的な対象と結びつけて理解する。(4)論理の体系の健全性と完全性とは何かを知る。(5)1階述語論理の完全性とコンパクト性の数学への応用として、超準解析の考え方の基本を知る。
解析学I 本学で学ぶ高度な解析学を理解するためには、数列の極限、関数の極限、上限・下限などの厳密な定義を理解し、その定義に基づいて論理展開できる能力が必要不可欠である。この授業では、ε‐δ論法やε‐N論法の扱いについて解説し、学生が解析学の基礎理論を修得することを目指す。
解析学演習I 解析学Iで学んだ内容について演習を行う。
解析学II 複素解析の初歩(複素変数の関数の微積分)について述べる。複素微分、複素積分、級数展開などを1実変数および2実変数の実数値関数の微積分を復習・再確認しながら理解させ、複素関数においては重要なことがほとんどコーシーの積分定理・コーシーの積分公式から展開されることを講義する。さらに実積分の計算へ留数を応用する方法について解説する。
解析学III 速度や力などの物理量は方向性を持つため、ベクトルによって表わされる。また電場や磁場などのように、位置や時間に応じてベクトルが定まるような「場」の考え方が広く用いられているが、それらを数学的に表すには、(複数の変数を持ち)値がベクトルになるような「ベクトル値関数」と呼ばれる概念が用いられる。「ベクトル解析」では、このようなベクトル値関数の基本的な扱い方とそれらの変化をとらえるための多変数の微積分法について学ぶ。ベクトル解析は力学、電磁気学、流体力学をはじめとする自然科学を記述する数学的手法として広く用いられており、これらの分野を理解するには必要不可欠な数学的道具である。
数値解析学 コンピュータにおける数値の表現方法、方程式の反復法、補間法、数値積分、連立一次方程式、常微分方程式に関する数値解法について解説する。
現代積分論 ルベーグ積分は、金融工学、統計学などの応用分野だけでなく、微分方程式論、確率論、ポテンシャル論、超関数論などの現代解析学を学ぶために、不可欠な概念である。そこで、この授業では、ルベーグ積分の理論およびその扱い方を学習することによって、学生が上述の研究分野を理解するために必要な論理的思考能力を高めることを目標とする。
複素関数論 留数定理などの単なる計算といった複素関数の微積分から一歩進んで、代数的あるいは幾何学的アプローチを含む論理的な関数論について学習する。また、他分野においても有用な幾つかの関数について学ぶ。
関数解析学 バナッハ空間、ヒルベルト空間、有界線形作用素について講義する。ヒルベルト空間における直交分解、リースの定理、共役作用素など関数解析がにおいて重要な性質について講義する。
関数方程式論I 前半は、2年次までに学んできた解析学の基礎をなす極限操作に関する定理を中心に、精密に定義された基本概念から厳密に証明する。後半は、常微分方程式の基礎定理(解の存在と一意性の定理)や線形理論(基本解の判定法など)を学習する。全体を通じて、演習問題を自力で解くことにより、論理的思考の訓練と論証能力の習得をはかる。
関数方程式論II 1階の準線形偏微分方程式の初期値問題の解法と、2階線形偏微分方程式の典型的な3つの型(波動方程式、熱方程式、ラプラス方程式)の解法について解説する。一階偏微分方程式の解法には、連立の常微分方程式の解法が役立つことを示した上で、2階の偏微分方程式には、「常微分方程式」で学んだルジャンドル多項式やベッセル関数を用い、また「フーリエ解析」で学習するフーリエ級数、フーリエ積分(フーリエ変換)を利用して解けるを説明する。
確率統計I 統計学において用いられる基礎概念、基礎事項について学習する。前半は確率空間、確率変数、確率分布に関する一般理論について学び、後半は代表的な離散型確率分布、連続型確率分布について学習する。また、中心極限定理、一様乱数、正規乱数についても学習する。
確率統計II 基本的な統計概念、特に統計的推測論について学習する。講義の前半は点推定、区間推定について学習し、後半は統計的仮説検定について学習する。統計概念を確実に身につけ、データから有益な情報を抽出できることを目標とする。
数理統計学I 多変量データを解析するいろいろな手法それぞれについて、何をするための手法であるか、どのように解析を行うか、どんなタイプのデータに適用できるかを理解する。そして、解析目的に応じて適切な手法を選べるようになることを目標とする。
数理統計学II ノンパラメトリック法と多重比較法の理論を理解し、演習問題を解くことで実践力を身につけることを目標とする。ノンパラメトリック法として、符号検定、連検定、ウィルコクソン検定など、多重比較法として、テューキー法、シェッフェ法などを扱う。
数理ファイナンスI 経済現象や数理ファイナンスと呼ばれる分野では不確実、非決定論的な現象を対象とします。それをモデル化して数理的な手法を用いて分析してする手段として、現在では確率論の知識が必要不可欠となっています。そこでこの講義では数理ファイナンスを学ぶ上で必要となる確率論の基礎概念について学びます。
数理ファイナンスII 金融派生商品を数理的に扱うための基礎的な事項を学習します。離散時間モデルである多期間2項モデルを扱います。講義内容は離散的確率論に基づいていますが、測度論的確率論を意識した構成になっています。後に連続時間モデルを学習するときのことを想定しつつ、リスク中立確率、複製戦略や無裁定価格など離散モデル・連続モデルに共通の基礎的かつ重要な概念を学びます。
応用統計学 最初に、クレーム総額のモデル、複合ポアソン分布、信頼性理論について講義し、次に、ルンドベリモデル、破産確率について講義する。また、一般化極値分布、IBNR 備金における最終累計支払保険金の推定法についても講義する。
応用数理シミュレーション 自然現象や社会現象の定量的な側面を分析することにより、現象を記述する数理モデルを構築し、数理解析的手法や数値解析的手法を用いてモデルを調べ、現象に対して数学的なアプローチを行う基本的なシミュレーション技法を学ぶ。特に、最も単純なエージェント・ベースド・モデルである sugarscape model の基礎理論を通して、離散力学系を用いたシミュレーション技法の基礎を学び、同手法の応用として、数理疫学モデルを取り上げ、具体的なエージェント・ベースド・モデルの性質を理解する。
応用数理シミュレーション演習 数値解析学で学んだ数値計算アルゴリズムを、計算機に実装する方法を演習を通して学ぶ。特に常微分方程式の近似解法のアルゴリズムを実際に計算機に実装する方法を学び、それを用いて数理伝染病学の微分方程式の数値シミュレーションを行い、伝染病の感染拡大現象を理解する。また、エージェント・ベースド・モデルを使って閉鎖村落における感染率の高い感染症がどのように村落に広がっていくのかをシミュレートすることにより、応用数理シミュレーションで学んだ離散力学系に関するシミュレーション技法を、具体的な問題を通して、深く理解する。
数理科学演習I,II 「数理科学卒業研究」と不可分の科目で、「卒業研究」で取り組む数理科学の研究における課題を見つけるための科目である。各分野の代表的なテキストを読むことにより、各自の興味をより掘り下げるとともに、各自の持っている素朴な疑問を数理科学という学問の中に定式化できるようになることを目的とする。
数理科学卒業研究 学士課程教育の締め括りとなる科目であり、最も重要な科目の一つである。各自の希望に応じて研究室に分属し、教員の個人指導のもと、各自の研究を追求する。研究テーマに関する文献検索、その理解の仕方、研究のまとめかた、研究発表の仕方などの指導を通じて、研究の進め方を身につけることを目的とする。